离散1知识点总结
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命题逻辑
命题和联结词
1.1.1命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假性质的陈述句
命题的判断结果称作命题的真值，真值只有两个取值------真（1）或假（0）
命题常用大写字母表示
一个命题不能再分解为更简单的命题，这个命 题称为原子命题。
由多个原子命题和联结词组成的命题成为复合命题
1.1.2联结词
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设P是一个命题，则P的否定是一个新的命题， 记作" ¬P"，读作"非P"
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设P 和Q是命题，则用 PΛQ 表示 " P并且 Q"
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设P和Q是命题，则用 P∨Q表示命题"P或者Q"
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设P和Q是命题，则用P∇Q表示命题"P异或Q"
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设P和Q是命题，则用P→Q表示命题"如果P那么Q"
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在命题逻辑中，一个条件式的前提并不要求与结论有任何关系，这种条件式称为实质条件命题。
设P和Q是命题，则用P↔Q表示命题"P等值于Q"
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1.2合式公式与真值表
1.2.1合式公式
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1.2.2真值表
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1.3永真式和等价式
1.3.1永真式
永真式/重言式：不依赖命题变元真值指派而总是取值为真（1）的命题公式
永假式/矛盾式：不依赖命题变元真值指派而总是取值为假（0）的命题公式
可满足式：至少存在一组命题变元的真值指派使命题公式为真
永真式的否定是矛盾式，矛盾式的否定是重言式。
永真式的析取、合取、单条件和双条件都是重言式。
重言式可以产生许多有用的恒等式。
1.3.2等价式
设A、B是两个命题公式，如果A、B在任意解释下（任意命题变元真值指派组合下），其真值都是相同的（A↔B为重言式），则称A和B等价。
常用等价逻辑式：
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个人认为常用的有但不限于：1、2、3（交换律） 4、5、6（结合律） 7、8、9（分配律） 11、12、13（摩根律） 14（逆反律） 27（如何把蕴含拆掉） 29、30（吸收律）
1.3.3代入规则和替换规则
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1.4对偶式与蕴含式
1.4.1对偶式
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对偶原理↓
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1.4.2蕴含式
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常用永真蕴含公式：
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个人认为常用的有：9（析取三段论） 12（假言三段论） 10（假言推论） 1、2、3、4（化简附加式）
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1.5范式和判定问题
1.5.1析取范式与合取范式
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P∧¬P永假 P∨¬P永真
1.5.2主析取范式与主合取范式
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对于任意的命题公式A，其真值表中，真值取值为真（1）的真值指派组合都是主析取范式中的一个极小项
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对于任意的命题公式A，其真值表中，真值取值为假（0）的真值指派组合都是主合取范式中的一个极大项
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1.6命题演算的推理理论
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你可以不用看懂下边这个定义（出于礼貌，我写进来了），你只要会写题就行↓
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这就是前边写到的公式，可以略过↓
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{width="5.243324584426946in" height="3.409897200349956in"}
{width="5.222490157480315in" height="3.069601924759405in"}
{width="4.36133530183727in" height="1.5764698162729658in"}
{width="4.653017279090114in" height="0.6250317147856518in"}
极速版------当你要用引入一个新的条件时（P规则）
当你要用前边的等价公式推出新的条件时（T规则）
当你要证的结论是蕴含式/你需要引入结论作为前提时（CP规则，记得写附加前提）
当你要用反证法，取结论的反为前提时（F规则，记得写假设前提）
以下用三道例题分别演示，普通方法、CP法、反证法
普通方法：
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CP法：
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反证法：
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（反证法是引入相反的结论作为前提，推出和现有前提的矛盾，例如该题的第7步）
自己写题时可以省略部分文字，但必须要包含的是每条结论前边的序号、结论、使用的规则、规则涉及到的结论的序号
谓词逻辑
2.1基本概念和表示
2.1.1个体、谓词和谓词形式
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2.1.2量词
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存在唯一量词∃！，表示"恰有一个"、"唯一存在"。辖域等概念同上
存在唯一量词应该是不列入考纲的（我上了一学期翻书头一次看见它）
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谓词逻辑翻译时非常重要的注意事项↓
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一般来讲，量词的先后顺序不可随意交换
当量词辖域中的个体变元互不干涉时才可随意交换。
2.1.3合适谓词公式
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2.1.4自由变元和约束变元
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2.2谓词逻辑的翻译与解释
2.2.1谓词逻辑的翻译
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，成为谓词逻辑的翻译或符号化
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该部分十分重要，以下用两道例题做演示
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2.2.2谓词公式的解释
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对于一个谓词公式A，其个体域为D，若在D中怎么解释A，A的真值总为真（1），则称A在D中永真。（永假和可满足 类似定义）
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2.3谓词逻辑的等价式与蕴含式
非常重要的三个公式↓
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以下是一些等价式和永真蕴含式：
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{width="6.077483595800525in" height="3.0905653980752406in"}
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个人认为常用的有：E39、E40、I17、I18、I19、I20（抛开上边提到的三个公式）
以下是量词转换
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2.4谓词逻辑中的推理理论
2.4.1推理规则
P、T、CP、F规则在谓词逻辑推理中仍然使用（对，就是使用，离不开的）
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下边这个US、ES、UG、EG是最重要的，做题时经常会用到的（注意相应规则的使用条件）
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2.4.2推理实例
谓词逻辑的推理相较于命题逻辑复杂的多，所以给出四道例题做演示，希望能总结一些经验。（不是我不想总结，是我真的不知道做题的思路怎么写）
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{width="6.179438976377953in" height="1.3024803149606299in"}
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{width="5.961624015748032in" height="3.2135476815398074in"}
{width="5.726669947506561in" height="3.8119772528433944in"}
{width="5.82588145231846in" height="2.6409350393700786in"}
{width="6.062364391951006in" height="3.535622265966754in"}
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2.5谓词逻辑中公式范式
2.5.1前束范式
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{width="6.365205599300087in" height="4.376621828521435in"}
2.5.2斯柯林范式
{width="6.736552930883639in" height="2.164073709536308in"}
{width="6.379068241469816in" height="4.972793088363955in"}
{width="6.115433070866142in" height="4.827156605424322in"}
个人感觉：谓词逻辑的范式考察的可能性不大，稍微记一下看看例题就行
集合论
集合论概念较多，所以该部分总结时以概念为主，习题方面大量减少
3.1集合的概念及其表示
{width="5.667139107611549in" height="1.31751968503937in"}
{width="7.775002187226597in" height="2.231582458442695in"}
集合中的元素也可以是集合！！！！！！！！（套娃）
{width="6.263953412073491in" height="4.117491251093614in"}
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（外延和内涵不考，但是可以看看，不过也没什么b用）
{width="5.970681321084864in" height="3.3801312335958005in"}
（基数在离散1基本上用不到，但是是很重要的概念）
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（请务必玩懂空集，在这里会非常绕弯）
{width="5.874300087489064in" height="1.9542902449693789in"}
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{width="6.452781058617672in" height="2.2067530621172353in"}
（真包含只是在包含的基础上去掉了相等的情况）
{width="6.161608705161854in" height="1.542992125984252in"}
（用定义证明相等可行）
（用A包含B同时B包含A也可以证明相等）
（也可以用第五章的特征函数进行相等的证明）
{width="6.226924759405074in" height="2.083532370953631in"}
{width="6.112554680664917in" height="2.2428740157480314in"}
{width="6.486984908136483in" height="1.456913823272091in"}
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幂集的元素都是集合
{width="6.934195100612423in" height="0.6810378390201225in"}
{width="5.765649606299212in" height="3.1111297025371827in"}
3.2集合的运算与恒等式
交集并集在此不赘述，大家应该高中都讲过
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{width="6.143255686789152in" height="3.141087051618548in"}
{width="6.311938976377952in" height="1.3981627296587926in"}
{width="6.449724409448819in" height="1.3730030621172353in"}
{width="6.472979002624672in" height="1.0802591863517061in"}
{width="6.764317585301837in" height="1.2519838145231845in"}
{width="5.577841207349081in" height="4.602083333333334in"}
{width="5.768502843394575in" height="2.7501006124234473in"}
以下是常用的集合定律：
{width="5.1747550306211725in" height="5.784069335083115in"}
{width="5.511435914260717in" height="6.023884514435696in"}
{width="5.551083770778653in" height="5.449039807524059in"}
{width="5.871937882764654in" height="2.704711286089239in"}
个人认为常用的有：9、10（分配律） 19、20（吸收律） 21-26（摩根律） 31 32 33
3.3有穷集的计数和包含排斥原理
{width="5.312773403324584in" height="2.3890113735783025in"}
{width="6.09494750656168in" height="1.0558180227471565in"}
包含排斥原理↓
{width="6.329468503937008in" height="2.5049201662292213in"}
以下用两道例题做演示：
{width="4.992841207349081in" height="3.274773622047244in"}
{width="5.668597987751531in" height="3.430716316710411in"}
{width="6.19628937007874in" height="2.1039643482064743in"}
{width="5.993040244969379in" height="3.83038167104112in"}
二元关系
4.1多重序元与笛卡尔乘积
{width="5.602261592300962in" height="1.1083070866141733in"}
{width="4.882194881889764in" height="2.1876126421697286in"}
{width="5.382221128608924in" height="3.604351487314086in"}
（我们只学二重序偶，所以多重序偶带过）
{width="6.190793963254593in" height="2.393011811023622in"}
|A|=m，|B|=n则|A*B|=m*n
A*∅=∅ 般来说，笛卡尔乘积不满足交换律
切记，笛卡尔乘积对应的是集合运算
笛卡尔乘积满足分配律
{width="5.639666447944007in" height="2.430100612423447in"}
{width="6.099318678915136in" height="4.082096456692914in"}
A⊆C∧B⊆D=＞A*B⊆C*D
4.2关系的基本概念
{width="5.464402887139108in" height="3.5050557742782154in"}
我们只研究二元关系
{width="5.437779965004374in" height="2.5487423447069117in"}
很重要的恒等关系↓
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4.3关系的运算
{width="5.322176290463692in" height="2.133558617672791in"}
{width="6.404314304461942in" height="1.9943963254593176in"}
{width="6.496886482939632in" height="1.261007217847769in"}
{width="6.510038276465441in" height="1.4882841207349082in"}
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{width="5.382221128608924in" height="4.2224387576552935in"}
{width="5.7820833333333335in" height="1.7546445756780402in"}
{width="5.768055555555556in" height="2.6352285651793528in"}
{width="5.768055555555556in" height="1.7888692038495189in"}
限制用的很少↓
{width="6.024291338582677in" height="2.1025109361329832in"}
{width="6.51136811023622in" height="2.0899715660542433in"}
以下定理很少用到↓
{width="6.778437226596675in" height="0.8610454943132109in"}
{width="6.900772090988626in" height="1.3734547244094488in"}
4.4关系的性质
{width="5.215545713035871in" height="2.215391513560805in"}
极速版
自反：对于x∈A，则<x,x>∈R
反自反：对于x∈A,则<x,x>∉R
{width="5.444724409448819in" height="1.9375995188101487in"}
极速版
对称：对于x、y∈A, <x,y>∈R,则<y,x>∈R
反对称：对于x、y∈A, <x,y>∈R,则<y,x>∉R，或当且仅当，x=y <y,x>∈R
注意的是， x和y可以相等
{width="5.5558409886264215in" height="2.4098458005249346in"}
极速版
可传递：对于x、y、z∈A, <x,y>、<y,z>∈R,则<x,z>∈R
不可传递：对于x、y、z∈A, <x,y>、<y,z>∈R,则<x,z>∉R
注意的是，x和y和z可以任意两个相等，甚至三个相等
{width="5.768055555555556in" height="3.4895833333333335in"}
{width="5.668397856517935in" height="2.674274934383202in"}
对于有限集合A,|A|=n
{width="4.875250437445319in" height="2.791809930008749in"}
4.5关系的表示
{width="5.81005249343832in" height="1.9629615048118985in"}
{width="5.892590769903762in" height="3.696459973753281in"}
自反关系：每个节点都有指向自己的有向边
对称关系：每两个有连线的节点必然是相互指向的
{width="5.598429571303587in" height="4.294019028871391in"}
{width="5.856628390201225in" height="4.105860673665791in"}
{width="5.5558409886264215in" height="3.833530183727034in"}
{width="5.271104549431321in" height="3.0904363517060367in"}
{width="5.768055555555556in" height="0.7916666666666666in"} 
{width="5.319717847769029in" height="3.7849168853893262in"}
4.6关系的闭包运算
{width="5.943712817147857in" height="3.6735979877515312in"}
{width="6.010637576552931in" height="1.8632075678040245in"}
人话版
R自反------r(R)=R
R对称------s(R)=R
R可传递------t(R)=R
闭包的计算↓
{width="6.793850612423447in" height="1.9748906386701661in"}
{width="4.528010717410324in" height="1.3959055118110235in"}
{width="6.3231353893263345in" height="1.7663823272090988in"}
{width="5.222490157480315in" height="1.6181386701662293in"}
比较重要的性质↓
{width="6.707309711286089in" height="1.5822375328083988in"}
4.7特殊关系
4.7.1集合的划分和覆盖
{width="5.2502701224846895in" height="2.3334536307961504in"}
{width="5.146097987751531in" height="3.7224136045494314in"}
{width="5.768055555555556in" height="2.352777777777778in"}
{width="5.768055555555556in" height="3.6979166666666665in"}
{width="5.5419510061242345in" height="0.7500382764654419in"}
4.7.2等价关系
{width="5.166932414698163in" height="2.4167913385826774in"}
非常重要的模m同余关系↓
{width="5.069704724409449in" height="1.3542366579177603in"}
模m同余是等价关系
{width="5.361386701662292in" height="3.0001541994750656in"}
{width="5.575825678040245in" height="2.6342465004374453in"}
人话版
对于a∈A，与a有关系的所有元素构成的一个集合，称为等价类
{width="6.372419072615923in" height="1.7868875765529308in"}
{width="3.5626826334208226in" height="0.6597561242344707in"}
我也不知道这个3是什么，所以不能给出回答。
{width="3.124831583552056in" height="0.7952077865266841in"}
{width="6.707487970253719in" height="3.1745352143482064in"}
{width="6.026314523184602in" height="3.230433070866142in"}
全域关系将一个集合作为一个划分，即秩为1
恒等关系将集合中每一个元素作为一个等价类，即秩为|X|
{width="6.467756999125109in" height="1.8067825896762906in"}
{width="6.6874300087489065in" height="1.0797397200349956in"}
"划分"的概念和"等价关系"的概念本质 上是相同的。
4.7.3相容关系
{width="5.768055555555556in" height="2.240972222222222in"}
相容关系相较于等价，缺少了可传递的性质
{width="5.768055555555556in" height="0.4270833333333333in"} 
{width="5.768055555555556in" height="3.8319444444444444in"}
{width="5.768055555555556in" height="3.8875in"}
{width="5.502679352580928in" height="1.0419772528433946in"}
{width="6.3573239282589675in" height="1.9830194663167104in"}
{width="2.493183508311461in" height="1.1597823709536308in"}
{width="5.354442257217848in" height="3.9863156167979in"}
{width="4.757189413823272in" height="4.041874453193351in"}
{width="5.166932414698163in" height="2.555686789151356in"}
{width="5.187766841644795in" height="4.152991032370954in"}
{width="5.5419510061242345in" height="3.4793460192475942in"}
{width="5.333607830271216in" height="2.9932097550306214in"}
4.7.4次序关系
{width="5.146097987751531in" height="2.257060367454068in"}
偏序关系的性质------自反 反对称 可传递
{width="5.166932414698163in" height="2.6945833333333336in"}
人话版
<P, ≤>是一个偏序集合，其中≤所表示的关系不定，根据题意可以随意翻译
注意：取反不影响关系（即取反前是偏序，取反后仍是偏序）
"整除"和"整倍数"互为逆关系， 它们都是I+ 中的偏序关系。
{width="5.885094050743657in" height="3.5045188101487312in"}
拟序条件的性质------反自反 反对称 可传递
实数集合中的大于小于、集合中的真包含都是拟序关系
{width="6.116729002624672in" height="1.6500174978127733in"}
{width="5.486393263342082in" height="2.9029265091863516in"}
全序集合的性质------自反 反对称 可传递
{width="5.0974846894138235in" height="1.9306550743657043in"}
全序集合是在偏序集合的基础上得来的，相较于偏序集合，全序集合中任意两个元素总有关系成立
{width="5.583619860017498in" height="1.9375995188101487in"}
人话版:
对于一个字符串，字母序就是从第一位开始比较大小（判断关系成立与否），若当前比较位置相同，则比较下一个位置，直到某一个字符串先遍历完，先遍历完的小于为遍历完的。
{width="6.62805227471566in" height="3.19036854768154in"}
4.7.5偏序集合与哈斯图
{width="5.625288713910761in" height="1.2847878390201224in"}
{width="5.361386701662292in" height="1.9862128171478566in"}
{width="5.4169455380577425in" height="3.3612839020122482in"}
{width="5.247227690288714in" height="1.2080993000874891in"}
{width="5.444724409448819in" height="1.944543963254593in"}
{width="5.354442257217848in" height="1.3195122484689414in"}
{width="5.4030555555555555in" height="1.2986778215223098in"}
{width="5.514172134733158in" height="1.9792683727034122in"}
{width="5.729460848643919in" height="2.3195636482939634in"}
{width="5.764185258092739in" height="2.0973304899387575in"}
{width="5.604454286964129in" height="0.6736461067366579in"}
{width="2.7501410761154856in" height="1.2222845581802275in"}
最小（大）成员是唯一的
{width="4.778023840769904in" height="0.7361493875765529in"}
{width="3.291836176727909in" height="0.33335083114610675in"}
{width="5.768055555555556in" height="2.736111111111111in"}
函数
5.1函数的基本概念与性质
{width="5.768055555555556in" height="1.2881944444444444in"}
{width="5.768055555555556in" height="2.5194444444444444in"}
{width="5.768055555555556in" height="1.39375in"}
{width="5.768055555555556in" height="3.1284722222222223in"}
{width="6.632700131233595in" height="1.5260159667541557in"}
{width="5.964227909011374in" height="4.041216097987752in"}
{width="5.768055555555556in" height="3.1256944444444446in"} 
{width="5.722516404199475in" height="4.0835433070866145in"} 
{width="5.768055555555556in" height="3.415277777777778in"}
很重要的一个定义（小心看不懂题）
{width="6.517666229221347in" height="1.5800404636920384in"}
{width="4.36613845144357in" height="1.1133650481189852in"}
5.2函数的合成和合成函数的性质
{width="5.768055555555556in" height="2.6347222222222224in"}
{width="5.576675415573053in" height="2.4098458005249346in"}
第二条性质非常重要
{width="6.611089238845144in" height="1.2642399387576553in"}
{width="6.79540135608049in" height="0.7559536307961505in"}
5.3特殊函数
{width="5.768055555555556in" height="3.966666666666667in"}
{width="1.9862128171478566in" height="0.4375229658792651in"}
{width="5.729460848643919in" height="1.826482939632546in"}
{width="3.9168678915135606in" height="1.5209109798775153in"}
{width="3.5487937445319333in" height="0.7778182414698163in"}
{width="5.768055555555556in" height="2.245138888888889in"}
{width="5.768055555555556in" height="1.58125in"}
{width="5.7086264216972875in" height="2.0417716535433073in"}
{width="5.768055555555556in" height="1.132638888888889in"}
5.4反函数
{width="6.217444225721785in" height="3.073540026246719in"}
一个函数的左逆和右逆不一定是唯一的
{width="6.493662510936133in" height="0.7583497375328084in"}
{width="6.491476377952756in" height="1.6058759842519685in"}
{width="6.889711286089239in" height="0.5326213910761155in"}
{width="6.861054243219598in" height="1.2043602362204724in"}
5.5特征函数
{width="6.3966896325459315in" height="3.3585312773403326in"}
{width="6.516552930883639in" height="2.63533573928259in"}
都挺重要的，尽力记一下↓
如果记不全，可以挑几个重要的，比如7、8、9、10
{width="6.007402668416448in" height="6.13200021872266in"}
特征函数可以用来证明函数的相等亦或包含关系，也可以进行函数双射等性质的推导
事例如下：
{width="5.768055555555556in" height="4.427777777777778in"}
{width="6.331088145231846in" height="3.6008595800524934in"}
5.6基数
{width="6.860474628171478in" height="1.1125765529308835in"}
{width="5.552903543307087in" height="1.9823261154855643in"}
等势满足交换律和传递性
{width="6.432088801399825in" height="4.238240376202975in"}
{width="6.734394138232721in" height="1.2056397637795275in"}
↑如何证明一个集合可数
查看是否有函数能实现A到N的双射（可以考虑用特征函数证明），否则可以考虑将A中的元素一一对应N中的元素
{width="6.503666885389326in" height="0.5183519247594051in"}
{width="6.7370603674540686in" height="1.164750656167979in"}
{width="6.60548665791776in" height="0.6744061679790027in"}
每取一次幂集，阿列夫数字+1，例如自然数集合N取幂集则从阿列夫0变成阿列夫1
{width="6.245932852143482in" height="1.4638899825021872in"}
{width="6.778319116360455in" height="1.3488353018372703in"}